Cálculo III

OBJETIVOS:

  • Lograr que el alumno: Conozca y maneje las aplicaciones del cálculo diferencial e integral en varias variables, de funciones reales y funciones vectoriales,  con fundamentos teóricos de análisis matemático.

CARGA HORARIA: 96 horas

Horas totales de resolución de problemas de aplicación: 32

CONTENIDOS:

  • UNIDAD TEMÁTICA 1: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Funciones reales de varias variables: Continuidad, Límite, Derivadas Parciales.

Mapeo de curvas y regiones. Curvas y superficies y sus representaciones paramétricas.

  • UNIDAD TEMÁTICA 2: VECTORES Y CAMPOS VECTORIALES.

Funciones vectoriales: Continuidad, Límite y Derivada de funciones vectoriales-Recta tangente a una curva. Operaciones diferenciales con vectores: gradiente, divergencia, rotor.

  • UNIDAD TEMÁTICA 3: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Derivada direccional- Funciones diferenciables- Plano tangente a una superficie- Diferencial total- Matriz Jacobiana f´’(Po)- Teorema del valor medio del cálculo diferencial – Derivadas parciales sucesivas- Funciones compuestas – Regla de la cadena- Teorema de Taylor-  (Desarrollo  de Taylor para aproximar localmente funciones de varias variables) – Funciones implícitas- jacobianos- funciones inversas.

  • UNIDAD TEMÁTICA 4: EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Máximos y mínimos de funciones de varias variables: Extremos absolutos y extremos relativos- Puntos críticos-Condiciones para la existencia de extremos relativos: Condición necesaria cuando existen las derivadas parciales – Condición suficiente. Extremos ligados- Multiplicadores de Lagrange.

  • UNIDAD TEMÁTICA 5: INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Integrales paramétricas. Regla de Leibnitz- Integrales dobles y triples- Cambio de variables- Aplicaciones de las integrales múltiples: área de una región plana, volumen de un sólido.

  • UNIDAD TEMÁTICA 6: INTEGRALES CURVILÍNEAS.

Integrales curvilíneas- Integrales curvilíneas de funciones reales y de campos vectoriales Aplicaciones de las integrales curvilíneas: longitud de arco de curva, masa de un alambre, trabajo de una fuerza.-Teorema de Gauss-Green. Condición necesaria y suficiente para que una integral curvilínea no dependa del c. de int.

  • UNIDAD TEMÁTICA 7: INTEGRALES DE SUPERFICIE

Integrales de superficie de funciones reales y de campos vectoriales- Aplicaciones de las integrales de superficie: área de superficie curva, masa de una lámina, flujo de un campo vectorial. Teoremas de Gauss-Ostrogradski y de Stokes

DESCRIPCIÓN ANALÍTICA DE LAS ACTIVIDADES TEÓRICAS Y PRÁCTICAS:

  • En las clases teóricas se exponen en detalle los conceptos, se deducen las  interpretaciones geométricas correspondientes y se dan ejemplos de aplicación.
  • Clases Prácticas: los docentes desarrollan algunos de los problemas de los Trabajos Prácticos, quedando el resto para ejercitación de los alumnos  quienes  pueden trabajar en forma grupal o individual y pueden   hacer consultas, tanto en las clases  como en el horario adicional para consultas. Los T.P del Nº 1 al Nº 8 tratan sobre el Cálculo Diferencial  y los T.P. del  Nº 9 al Nº 14 sobre el Cálculo Integral.

BIBLIOGRAFÍA:

  • Cálculo avanzado con aplicaciones a la ingeniería y a la física – Amázigo, Rubensfeld – Mc Graw Hill- México- Buenos Aires – 1983.
  • Cálculo de funciones vectoriales – Richard E. Williamson, Richard H. Crowell /y/ Hale F. Trotter – Prentice- Hall- Internacional- Bogotá-Buenos Aires – 1973.

Metodología y Forma de evaluación:

  • Para aprobar la  materia los alumnos deben aprobar dos evaluaciones parciales, cada una con posibilidad de recuperación al término del cuatrimestre,  y un examen final .La condición de alumno regular se alcanza  al aprobar los exámenes parciales y duros un cuatrimestre. Solamente los alumnos regulares tienen acceso al examen final. La 1ra evaluación abarca los temas de cálculo diferencial que se ven en los ocho primeros prácticos; la segunda los de cálculo integral. Ambas evaluaciones son escritas.
  • El examen final es de concepto, sobre cualquiera de los puntos del programa desarrollados en clases teóricas y prácticas. Se realiza en forma oral. Al comenzar el cuatrimestre los alumnos conocen los requisitos de aprobación de la materia. Los exámenes libres son autorizados por el responsable de cátedra, de acuerdo a la reglamentación vigente.